Rafael A. Rosales

Introdução a Probabilidade e Estatística II (MAN) 2024

 dados <- read.table("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/cancer.txt", head=TRUE)

R na sala de aula: simulações, análises, etc

05/08/25

Amostras/estimadores 1: média amostral

Os seguintes comandos tem por objetivo ilustrar a definição de amostras e estimadores.

A função sample pode ser utilizada para gerar amostras de uma população descrita por uma variável aleatória discreta com um número finito de valores. Por exemplo,

sample(x=c(1,2,3,4,5,6), size=300, replace=TRUE, prob=c(2/3,1/15,1/15,1/15,1/15,1/15))

gera a amostra

  [1] 1 1 1 1 3 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 5 1 6 1 6 4 4 1 1 1 1 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 3 1 1 3 1 4 1 4 4 1 5 1 1 1 1 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 1 1 5 1 1
 [75] 1 1 4 1 1 6 1 1 5 2 1 6 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 4 1 1 5 2 4 2 1 1 1 1 2 4 1 1
[112] 2 1 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 5 2 1 1 5 3 4 1 3 1 5 1 2 1 1 1 1 6 2 1 1 1 1 3 5
[149] 1 2 5 1 4 2 4 1 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 2 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 3
[186] 1 1 3 1 1 1 4 3 1 3 1 6 1 1 1 4 5 1 1 1 2 4 1 1 1 4 1 6 5 1 1 1 6 1 2 3 1
[223] 5 1 1 4 5 3 1 1 4 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 1 6 6 6 3 4 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 5 1
[260] 1 6 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 6 3 2 3 5 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 1 2 4 1 1 1 1 1 4
[297] 2 1 1 1

a qual representa o resultado de termos lançado 300 vezes um dado não honesto, com probabilidade 2/3 de resultar em 1. Para simular 10 lançamentos de uma moeda honesta e de outra com probabilidade 1/4 de resultar em cara podemos fazer (1 representa cara)

sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(1/2,1/2))
sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(3/4,1/4))

R posue funções para gerar amostras de uma grande quantidade de distribuições, alguns exemplos são: rnorm, rpois, rgeom, rbinom, rchisq e rt. O seguinte exemplo gera uma amostra de tamanho 200 de uma população Poisson$(\lambda)$ com $\lambda=10$,

rpois(lambda=10, n=200)
   [1] 12 15 11 10 10 12 12  7  7 10 14  6 15 11  9  9  6 14  6  9 15 15  8 13  6
  [26] 13 12 10 11  8 12 11  9 10 10  8  9 13  4  7  9  9 18 13 10 15  8 11  7 10
  [51] 10  9 15  5 10 13  4  7  9 10 10 12  8 12  7 15 14 11  6 14  9  5 12 12 15
  [76] 15 14 12 13 11  7 12  6 10 12  3  8  6 13  5 14  9 12 11 12  6  8  5 11 17
 [101]  3 14 11 12 10 11  6  9  8  8  2  9  6 14 13  7 12 10 10  9  9 11 11  8 10
 [126]  9  5 13 17 13  7  9  5  8 17 13 10 11  8  7  9 10  8  4  8  7  6 11 10 14
 [151] 12 11 15  8 10  8  5  8 12  6 11 10 21  6 11 10  4  8  9 12  7 14 11 11 20
 [176] 10 12 14  6 13 10  8  7  6 17  5  9  5  6  5 10 10 14 15  9  6  9 12  9  8

Suponhamos que a polulação das alturas dos estudantes da USP seja normal com média 1.68 (m) e variância 0.01. A seguinte linha utiliza a função rnorm para gerar uma amostra de tamanho 10 desta população e armacena os valores gerados no vetor alturas,

alturas <- rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01))

Definimos a seguir uma função da amostra, $g(X_1, \ldots, X_n)$, com o objetivo de estimar a média da população (suponha que o valor 1.68 utilizado para gerar a mostra seja realmente um parâmetro desconhecido),

g <- function(x){ 
  print(sum(x)/length(x)) 
}

A função $g$ calcula a media amostral, isto é, para a amostra $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$, o estatístico $g$ retorna \[g(x_1, \ldots, x_{10}) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i.\] Em particular, lembramos que este é o valor numérico do estimador $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ na amostra \[(X_1, X_2, \ldots, X_n)(\omega) = (x_1, x_2, \ldots, x_n).\] No R, o resultado ao aplicarmos o estimador na amostra gerada é

g(alturas)

Podemos gerar mais amostras e observar os valores do estimador em cada uma, por exemplo

for (i in 1:5) g(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 1.706853
 [1] 1.662526
 [1] 1.690708
 [1] 1.688903
 [1] 1.752636

gera 5 amostras e calcula a media amostral de cada uma. Em sala de aula denotamos $g(X_1, \ldots, X_n)$ por $\bar X$, o estimador média amostral. O importante aqui é observarmos como a depender da amostra podem resultar valores diferentes para o estimador $\bar X$: estes valoressão todos estimativas de $\bar X$. Cada chamada a rnorm muda a semente utilizada pelo gerador de números aleatórios utilizados por esta função gerando portanto amostras possívelmente diferentes. Em lugar de g(), definida acima, R possue a função mean.

05/08/25

estimadores 2: variância amostral

Dada uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ de uma população $X$, seja $S^2$ a variável aleatória definida por \[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i -\bar X)^2. \] $S^2$, conhecido como a variância amostral, é utilizado como um estimador da variância da população $\sigma^2 =$Var$(X)$. $S^2$ pode ser implementado pela função,

S2 <- function(x){ 
  n <- length(x)
  xbarra <- sum(x)/n
  print(sum((x-xbarra)^2/(n-1)))
}

for (i in 1:5) S2(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 0.005877579
 [1] 0.01414221
 [1] 0.007516044
 [1] 0.007520869
 [1] 0.01134922o

No R, as funções g() e S2() são implementadas respectivamente por mean() e var(); logo não é necessário definilas, mas o meu objetivo era explicar como isto pode ser feito.

11/08/25

estimadores 3: distribuição empírica

  source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/empirical_pdf.R")
  dado(N=10)
  plotFn(dado(N=10))
  for (i in 1:6) plotFn(dado(N=10), add=T)
  plotFn(dado(N=10000), add=T, col.hor="red", lwd=3)
  # amostras de uma populacao normal padrao (mu=0, sd=1)
  plotFn(normal(N=30), xlim=c(-3,3))
  for (i in 1:3) plotFn(normal(N=30), add=T)
  plotFn(normal(N=15000), add=T, col.hor="blue", lwd=3)
		  

A primeira linha carrega as funções definidas em empirical_pdf.R. A segunda linha gera uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_{10}$, a qual representa o lançamento de um dado honesto 10 vezes. Isto é implementado com a função dado, a qual por sua vez utiliza a função do R sample. A terceira linha calcula e grafica a estimativa para $\widehat F_{n}(x)$ baseada na amostra gerada com dado. A quarta linha calcula e grafica mais outras seis estimativas, cada uma obtida com uma amostra diferente (subsequentes chamadas a sample geram amostras "aleatórias" diferentes; tente você mesmo). A quinta linha calcula e grafica a estimativa obtida com uma amostra de tamanho n=10000, ou seja uma sequência de números obtida ao lançarmos 10000 um dado!. A estimativa desta ultima deve estar bem próxima da função de distribuição de um dado honesto. As ultimas linhas repetem esta experiencia para amostras de uma população normal padrão, isto é, com média 0 e variância 1. Ambos os resultados são mostrados na figura abaixo.

12/08/25

Aula de R

Todos os comando utilizados durante a aula de R podem ser acesados no seguinte arquivo.

30/08/22: Lei (fraca) dos Grandes Números

As simulações apresentadas na primeira aula para ilustrar um exemplo da Lei dos Grandes Números, de fato uma simulação da primeira Lei dos Grandes Números devida a J. Bernoulli, podem ser reproduzidas da seguinte forma. Inicie R e digite

  source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/moedaWLLN.R")

Este script define a função moedaWLLN(), a qual pode ser utilizada para simular o lançamento de uma moeda com prob. $p$ de sair cara N vezes. MoedaWLLN() aceita os seguintes argumentos além de N e $p$: m o número de moedas a serem lançadas e coins uma variável com dois valores TRUE/FALSE. Digite o seguinte e observe o resultado de cada linha

  moedaWLLN(m=1, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=300, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=3000, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=30000, p=0.25)
  moedaWLLN(m=15, N=3000, coins=FALSE, p=0.5)

Cada uma da linhas acima gera um gráfico da fração reativa de caras $S_N/N$ em função de $N$. $S_N$ corresponde a soma dos resultados de $N$ variáveis aleatórias Bernoulli $S_N = \xi_1 + \xi_2 + \ldots + \xi_N$. A ultima linha fornece um grafico de 15 trajetorias de $S_N/N$ obtidas ao lançar a mesma moeda $N$ vezes um total de 15 vezes. Isto ultimo permite visualizar a noção de convergência em probabilidade \[ \frac{S_N(\omega)}{N} \underset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} p, \] ou seja, para qualquer $\epsilon > 0$, \[ \lim_{N \to \infty} \mathbb{P}\bigg(\bigg\{\omega \in \Omega\ :\ \bigg|\frac{S_N(\omega)}{N} - p\bigg| > \epsilon\bigg\}\bigg) = 0 . \] Cada caminho na simulação corresponde a um evento elementar $\omega$, determinado por uma sequencia específica de caras e coroas. É possível visualizar o corpo da função moedaWLLN, simplesmentes ao digitar

  moedaWLLN