Rafael A. Rosales

Introdução a Probabilidade e Estatística II (BCC) 2026

 dados <- read.table("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/cancer.txt", head=TRUE)

R na sala de aula: simulações, análises, etc

04/03/26 e 09/03/26

Amostras/estimadores 1: média amostral

Os seguintes comandos tem por objetivo ilustrar a definição de amostras e estimadores.

A função sample pode ser utilizada para gerar amostras de uma população descrita por uma variável aleatória discreta com um número finito de valores. Por exemplo,

sample(x=c(1,2,3,4,5,6), size=300, replace=TRUE, prob=c(2/3,1/15,1/15,1/15,1/15,1/15))

gera a amostra

  [1] 1 1 1 1 3 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 5 1 6 1 6 4 4 1 1 1 1 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 3 1 1 3 1 4 1 4 4 1 5 1 1 1 1 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 1 1 5 1 1
 [75] 1 1 4 1 1 6 1 1 5 2 1 6 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 4 1 1 5 2 4 2 1 1 1 1 2 4 1 1
[112] 2 1 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 5 2 1 1 5 3 4 1 3 1 5 1 2 1 1 1 1 6 2 1 1 1 1 3 5
[149] 1 2 5 1 4 2 4 1 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 2 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 3
[186] 1 1 3 1 1 1 4 3 1 3 1 6 1 1 1 4 5 1 1 1 2 4 1 1 1 4 1 6 5 1 1 1 6 1 2 3 1
[223] 5 1 1 4 5 3 1 1 4 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 1 6 6 6 3 4 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 5 1
[260] 1 6 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 6 3 2 3 5 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 1 2 4 1 1 1 1 1 4
[297] 2 1 1 1

a qual representa o resultado de termos lançado 300 vezes um dado não honesto, com probabilidade 2/3 de resultar em 1. Para simular 10 lançamentos de uma moeda honesta e de outra com probabilidade 1/4 de resultar em cara podemos fazer (1 representa cara)

sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(1/2,1/2))
sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(3/4,1/4))

R posue funções para gerar amostras de uma grande quantidade de distribuições, alguns exemplos são: rnorm, rpois, rgeom, rbinom, rchisq e rt. O seguinte exemplo gera uma amostra de tamanho 200 de uma população Poisson$(\lambda)$ com $\lambda=10$,

rpois(lambda=10, n=200)
   [1] 12 15 11 10 10 12 12  7  7 10 14  6 15 11  9  9  6 14  6  9 15 15  8 13  6
  [26] 13 12 10 11  8 12 11  9 10 10  8  9 13  4  7  9  9 18 13 10 15  8 11  7 10
  [51] 10  9 15  5 10 13  4  7  9 10 10 12  8 12  7 15 14 11  6 14  9  5 12 12 15
  [76] 15 14 12 13 11  7 12  6 10 12  3  8  6 13  5 14  9 12 11 12  6  8  5 11 17
 [101]  3 14 11 12 10 11  6  9  8  8  2  9  6 14 13  7 12 10 10  9  9 11 11  8 10
 [126]  9  5 13 17 13  7  9  5  8 17 13 10 11  8  7  9 10  8  4  8  7  6 11 10 14
 [151] 12 11 15  8 10  8  5  8 12  6 11 10 21  6 11 10  4  8  9 12  7 14 11 11 20
 [176] 10 12 14  6 13 10  8  7  6 17  5  9  5  6  5 10 10 14 15  9  6  9 12  9  8

Suponhamos que a polulação das alturas dos estudantes da USP seja normal com média 1.68 (m) e variância 0.01. A seguinte linha utiliza a função rnorm para gerar uma amostra de tamanho 10 desta população e armacena os valores gerados no vetor alturas,

alturas <- rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01))

Definimos a seguir uma função da amostra, $g(X_1, \ldots, X_n)$, com o objetivo de estimar a média da população (suponha que o valor 1.68 utilizado para gerar a mostra seja realmente um parâmetro desconhecido),

g <- function(x){ 
  print(sum(x)/length(x)) 
}

A função $g$ calcula a media amostral, isto é, para a amostra $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$, o estatístico $g$ retorna \[g(x_1, \ldots, x_{10}) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i.\] Vale a pena lembrar que este é o valor numérico do estimador $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $n=10$, na amostra \[(X_1, X_2, \ldots, X_n)(\omega) = (X_1(\omega), X_2(\omega), \ldots, X_n(\omega)) = (x_1, x_2, \ldots, x_n),\] sendo $\omega$ um ponto do espaço amostral $\Omega$. $\Omega$ neste caso representa o conjunto de todos os possíveis vetores de $n$ coordenadas (cada coordenada representa a altura de um estudante), quando as coordenadas são escolhidas ao acaso. Agora, no R, o resultado ao aplicarmos o estimador na amostra $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ gerada via rnorm() é

g(alturas)

Podemos gerar mais amostras e observar os valores do estimador em cada uma. Por exemplo

for (i in 1:5) g(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 1.706853
 [1] 1.662526
 [1] 1.690708
 [1] 1.688903
 [1] 1.752636

de fato gera 5 amostras e calcula a media amostral de cada uma. Em sala de aula denotamos $g(X_1, \ldots, X_n)$ por $\bar X$, o estimador média amostral. O importante aqui é observarmos como a depender da amostra podem resultar valores diferentes para o estimador $\bar X$: estes valores são todos estimativas de $\bar X$. Cada chamada a rnorm muda a semente utilizada pelo gerador de números aleatórios utilizados por esta função gerando portanto amostras possívelmente diferentes. Por fim, no R já existe uma função que calcula a média amostral: mean(). Não é portanto necessário definir g(), mas o objetivo disto aqui é mostrar como definir uma função no R.

estimadores 2: variância amostral

Dada uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ de uma população $X$, seja $S^2$ a variável aleatória definida por \[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i -\bar X)^2. \] $S^2$, conhecido como a variância amostral, é utilizado como um estimador da variância da população $\sigma^2 =$Var$(X)$. $S^2$ pode ser implementado pela função,

S2 <- function(x){ 
  n <- length(x)
  xbarra <- sum(x)/n
  print(sum((x-xbarra)^2/(n-1)))
}

for (i in 1:5) S2(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 0.005877579
 [1] 0.01414221
 [1] 0.007516044
 [1] 0.007520869
 [1] 0.01134922o

No R, as funções g() e S2() são implementadas respectivamente por mean() e var(); logo não é necessário definilas, mas o meu objetivo era explicar como isto pode ser feito.

11/03/26

estimadores 3: distribuição empírica

  source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/empirical_pdf.R")
  dado(N=10)
  plotFn(dado(N=10))
  for (i in 1:6) plotFn(dado(N=10), add=T)
  plotFn(dado(N=10000), add=T, col.hor="red", lwd=3)
  # amostras de uma populacao normal padrao (mu=0, sd=1)
  plotFn(normal(N=30), xlim=c(-3,3))
  for (i in 1:3) plotFn(normal(N=30), add=T)
  plotFn(normal(N=15000), add=T, col.hor="blue", lwd=3)
		  

A primeira linha carrega as funções definidas em empirical_pdf.R. A segunda linha gera uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_{10}$, a qual representa o lançamento de um dado honesto 10 vezes. Isto é implementado com a função dado, a qual por sua vez utiliza a função do R sample. A terceira linha calcula e grafica a estimativa para $\widehat F_{n}(x)$ baseada na amostra gerada com dado. A quarta linha calcula e grafica mais outras seis estimativas, cada uma obtida com uma amostra diferente (subsequentes chamadas a sample geram amostras "aleatórias" diferentes; tente você mesmo). A quinta linha calcula e grafica a estimativa obtida com uma amostra de tamanho n=10000, ou seja uma sequência de números obtida ao lançarmos 10000 um dado!. A estimativa desta ultima deve estar bem próxima da função de distribuição de um dado honesto. As ultimas linhas repetem esta experiencia para amostras de uma população normal padrão, isto é, com média 0 e variância 1. Ambos os resultados são mostrados na figura abaixo.

*/03/26: Lei (fraca) dos Grandes Números

As simulações realizadas para ilustrar um exemplo da Lei dos Grandes Números é uma simulação da primeira Lei dos Grandes Números devida a J. Bernoulli. Esta podem ser reproduzida da seguinte forma. Inicie R e digite

  source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/moedaWLLN.R")

Este script define a função moedaWLLN(), a qual pode ser utilizada para simular o lançamento de uma moeda com prob. $p$ de sair cara N vezes. MoedaWLLN() aceita os seguintes argumentos além de N e $p$: m o número de moedas a serem lançadas e coins uma variável com dois valores TRUE/FALSE. Digite o seguinte e observe o resultado de cada linha

  moedaWLLN(m=1, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=300, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=3000, p=0.25)
  moedaWLLN(m=1, N=30000, p=0.25)
  moedaWLLN(m=15, N=3000, coins=FALSE, p=0.5)

Cada uma da linhas acima gera um gráfico da fração reativa de caras $S_N/N$ em função de $N$. $S_N$ corresponde a soma dos resultados de $N$ variáveis aleatórias Bernoulli $S_N = \xi_1 + \xi_2 + \ldots + \xi_N$. A ultima linha fornece um grafico de 15 trajetorias de $S_N/N$ obtidas ao lançar a mesma moeda $N$ vezes um total de 15 vezes. Isto ultimo permite visualizar a noção de convergência em probabilidade \[ \frac{S_N(\omega)}{N} \underset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} p, \] ou seja, para qualquer $\epsilon > 0$, \[ \lim_{N \to \infty} \mathbb{P}\bigg(\bigg\{\omega \in \Omega\ :\ \bigg|\frac{S_N(\omega)}{N} - p\bigg| > \epsilon\bigg\}\bigg) = 0 . \] Cada caminho na simulação corresponde a um evento elementar $\omega$, determinado por uma sequencia específica de caras e coroas. É possível visualizar o corpo da função moedaWLLN, simplesmentes ao digitar

  moedaWLLN

31/03/26

máxima verosimilhança

  amostra <- rgeom(15, 1/10)
  p.maxver <- length(amostra)/(sum(amostra)+length(amostra))
  LogVerGeom <- function(x=amostra, p=1/2) { 
     length(x)*log(p) + sum(x)*log(1-p)
  }
  p <- seq(0,0.2,0.001)
  plot(p, LogVerGeom(amostra, p))
  abline(v=p.maxver, lty=2)

O código acima fornece um exemplo do método máxima verossimilhança para uma população $X$ com distribuiça;ão Geometrica($p$), $p$=1/10. Suponha que $X$ representa o tempo de espera em um ponto de onibus qualquer em Ribeirão Preto; $p$ representa a probabilidade de pegarmos o onibus em um minuto. Se $p$=1/10, em méia devemos esperar 10 minutos. A primeira linha do código acima gera uma amostra de tamanho 15 da população. R ao contrario do feito em aula parameterisa o modelo Geometrico da seguinte forma \[P(X = k) = (1-p)^k p, \qquad k = 0, 1, \ldots\] Neste caso o estimador de máxima verossimilhança é $\hat{p}_{MV} = n/\sum_i (X_i-1)$, sendo $X_i$, $1 \leq i \leq n$ a amostra de $X$. A primiera linha do código gera uma amostra com $n=15$. A segunda linha calcula a estimativa do estimador $\hat{p}_{MV}$. A terceira linha define a função LogVerGeom, a qual calcula o logaritmo da função de verosimilhançã na amostra, dado um valor para $p$. A quarta linha define um vetor com possíveis valores para $p$. A quinta linha grafica o logaritmo da verosimilhança em funçao de $p$. Por ultimo adicionamos a posição da estimativa para $p$. Esta ultima deveria estar no lugar de máxima verossimilhança. Sugiro voce executar o script acima tal qual e logo substituindo a primeira e a quarta linha por

  amostra <- rgeom(1500, 0.95)
  p <- seq(0.8,1,0.001)
  p.maxver <- length(amostra)/(sum(amostra)+length(amostra))
  plot(p, LogVerGeom(amostra, p), xlab="p", ylab="log L(x, p)")
  abline(v=p.maxver, lty=2)

O valor $p$=0.95 poderia ser utilizado para modelar a probabilidade de pegarmos o onibus no primiero minuto na Alemanha, por exemplo. Os graficos gerados pelos comandos acima é apresentado abaixo.

O script NormalLik.R simula uma amostra de tamanho 40 de uma população normal com média 1.68 e variância 0.1 (com o intuito de simular uma amostra das alturas de vocés) e posteriormente calcula e grafica a superficie de verossimilhanca para um determinado dominio dos valores para a média e a variância. O grafico abaixo apresenta o resultado. Tente executar o script várias e observe a variação da superficie determinada pela amostragem! Observe que para poder gerar o grafico, é necessário instalar a livraria plot3D, digitanto, por exemplo, desde a linha de comando do R install.packages("plot3D").

O script também imprime o valor das estimativas para os estimadores de máxima verossimilhança baseados na amostra; veja os numeros impresos na linha de comando que aparecem depois de digitar

source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/NormalLik.R")

01/04/26

histogramas

As simulações apresentadas em aula ilustram a convergência (em probabilidade) do histograma $\widehat h_{n}(x)$ a distribuição da população $f$,\[\widehat h_n(x) \underset{\mathbb P}{\longrightarrow} f(x).\] No código abaixo, sala.MAN.* é uma amostra de tamanho *=50, 350, 5000 de uma populacao normal com media 1.7 e desvio padrão 0.1, utilizada para simular a altura de vocês (em metros). Este exemplo não foi realizado na aula, mas queiro disponibilizar aqui para voces terem ainda mais exemplos.

sala.MAN.50 <- rnorm(52, mean=1.7, sd=0.1)
hist(sala.MAN.50, breaks=50, main="50")
sala.MAN.350 <- rnorm(350, mean=1.7, sd=0.1)
hist(sala.MAN.350, breaks=50, main="350")
sala.MAN.50000 <- rnorm(50000, mean=1.7, sd=0.1)
hist(sala.MAN.50000, breaks=50, main="50000")

O resultado é apresentado na figura abaixo.

O seguinte exemplo, feito em aula, ilustra a convergencia do histograma quando a densidade da população segue o modelo Exponencial($\lambda$) com $\lambda=3$

T.50 <- rexp(n=50, rate=3)
hist(T.50, breaks=50, main="50", xlab="tempo")
T.350 <- rexp(n=350, rate=3)
hist(T.350, breaks=50, main="350", xlab="tempo")
T.50000 <- rexp(n=50000, rate=3)
hist(T.50000, breaks=50, main="50000", xlab="tempo")

Neste caso $X$ pode representar o tempo de espera para ser atendido em um posto de saude em minutos ($\lambda = 3$ é o tempo médio de espera).

08/04/25

Teorema Central do Limite

A seguinte linha

source("http://dcm.ffclrp.usp.be/~rrosales/aulas/CLT_a.R")

carrega o script que simula o Teorema Central de Limite para sequências de variáveis aleatórias Bernoulli($p$), i.e. o TCL de De Moivre - Laplace como explicado em sala de aula. Em cada iteração é gerada uma amostra de $n$ Bernoullis $\xi_1$, $\ldots$, $\xi_n$ independentes, logo é calculada a média aritmética $\frac{1}{n}S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \xi_i$. A media aritmetica é padronizada ao substrair a sua média e dividir pelo seu desvio padrão, \[ \frac{S_n/n - \mathbb E\big[S_n/n\big]}{\text{Var}\big(S_n/n\big)^{1/2}} = \frac{S_n - n p}{p(1-p)\sqrt{n}}. \] Isto é repetido 45 vezes e o histograma dos 45 valores obtidos é graficado. Este procedimento tudo é repetido várias vezes e o resultado de cada repetição é acumulado no mesmo histograma.

A simulação ê realizada digitando

animCLT()

A simulação é finalizada ao digitar CTRL-C ou CTRL-Z ou clickando no icone "STOP" no RStudio. Uma vez finalizada a simulação, é possível sobrepor sobre o histograma gerado a densidade normal padrão com

addens(text=TRUE)