Rafael A. Rosales

Introdução a Probabilidade e Estatística II (MAN) 2026

 dados <- read.table("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/cancer.txt", head=TRUE)

R na sala de aula: simulações, análises, etc

04/08/24

Amostras/estimadores: proporções

Os seguintes comandos tem por objetivo ilustrar a definição de amostras e estimadores.

A função sample pode ser utilizada para gerar amostras de uma população descrita por uma variável aleatória discreta com um número finito de valores. Por exemplo,

sample(x=c(1,2,3,4,5,6), size=300, replace=TRUE, prob=c(2/3,1/15,1/15,1/15,1/15,1/15))

gera a amostra

  [1] 1 1 1 1 3 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 5 1 6 1 6 4 4 1 1 1 1 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 3 1 1 3 1 4 1 4 4 1 5 1 1 1 1 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 1 1 5 1 1
 [75] 1 1 4 1 1 6 1 1 5 2 1 6 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 4 1 1 5 2 4 2 1 1 1 1 2 4 1 1
[112] 2 1 1 1 1 3 4 1 1 1 3 5 5 2 1 1 5 3 4 1 3 1 5 1 2 1 1 1 1 6 2 1 1 1 1 3 5
[149] 1 2 5 1 4 2 4 1 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 2 5 1 1 4 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 3
[186] 1 1 3 1 1 1 4 3 1 3 1 6 1 1 1 4 5 1 1 1 2 4 1 1 1 4 1 6 5 1 1 1 6 1 2 3 1
[223] 5 1 1 4 5 3 1 1 4 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 1 6 6 6 3 4 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 5 1
[260] 1 6 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 6 3 2 3 5 1 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 1 2 4 1 1 1 1 1 4
[297] 2 1 1 1

a qual representa o resultado de termos lançado 300 vezes um dado não honesto, com probabilidade 2/3 de resultar em 1. Para simular 10 lançamentos de uma moeda honesta e de outra com probabilidade 1/4 de resultar em cara podemos fazer (1 representa cara)

sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(1/2,1/2))
sample(x=c(0,1), size=10, replace=TRUE, prob=c(3/4,1/4))

Com o objetivo ilustrar o estimador $\widehat p$ para a proporção de um atributo em uma população $X$, suponhamos que $X$ é resultado de lançarmos uma moeda e que a probabilidade desta resulta em cara é $p = \frac12$. Dada uma amostra de $X$, constituída por $n$ lançamentos da moeda, $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$, lembramos que \[ \widehat p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i \] onde $\xi_i = 1_{\{X_i\ \text{ é cara}\}}$, $i=1, \ldots, n$. Utilizamos sample para gerar os valores de uma amostra com $n=30$, definindo a seguinte função chamada moeda,

moeda <- function(n=30, p=1/2){
   return(sample(x=c(1,0), size=n, replace=TRUE, prob=c(p,1-p)))
}

onde cara é 1 e corõa é 0. Assim, por exemplo

moeda(n=30)
moeda(n=300)

gera os valores de duas amostras simulando 30 e 300 lançamentos de uma moeda honesta, i.e. com $p=\frac12$. Observe que a função que acabamos de definir acima permite simular uma moeda com probilidade qualquer de resultar em cara; sugiro tentar moeda(n=100,p=0.35).

Por fim, seguinte função implementa o estimador $\widehat{p}$,

p.chapeu <- function(x){
   return(sum(x)/length(x))
}

As seguintes linas mostram o efeito de aumentarmos o tamanho da amostra no valor do estimador $\widehat p$,

p.chapeu(moeda(30))
p.chapeu(moeda(300))
p.chapeu(moeda(30000))
p.chapeu(moeda(3000000))

10/08/24

Amostras/estimadores: média amostral

R posue funções para gerar amostras de uma grande quantidade de distribuições, alguns exemplos são: rnorm, rpois, rgeom, rbinom, rchisq e rt. O seguinte exemplo gera uma amostra de tamanho 200 de uma população Poisson$(\lambda)$ com $\lambda=10$,

rpois(lambda=10, n=200)
   [1] 12 15 11 10 10 12 12  7  7 10 14  6 15 11  9  9  6 14  6  9 15 15  8 13  6
  [26] 13 12 10 11  8 12 11  9 10 10  8  9 13  4  7  9  9 18 13 10 15  8 11  7 10
  [51] 10  9 15  5 10 13  4  7  9 10 10 12  8 12  7 15 14 11  6 14  9  5 12 12 15
  [76] 15 14 12 13 11  7 12  6 10 12  3  8  6 13  5 14  9 12 11 12  6  8  5 11 17
 [101]  3 14 11 12 10 11  6  9  8  8  2  9  6 14 13  7 12 10 10  9  9 11 11  8 10
 [126]  9  5 13 17 13  7  9  5  8 17 13 10 11  8  7  9 10  8  4  8  7  6 11 10 14
 [151] 12 11 15  8 10  8  5  8 12  6 11 10 21  6 11 10  4  8  9 12  7 14 11 11 20
 [176] 10 12 14  6 13 10  8  7  6 17  5  9  5  6  5 10 10 14 15  9  6  9 12  9  8

Suponhamos que a população das alturas dos estudantes da USP seja normal com média 1.68 (m) e variância 0.01. A seguinte linha utiliza a função rnorm para gerar uma amostra de tamanho 10 desta população e armacena os valores gerados no vetor alturas,

alturas <- rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01))

Definimos a seguir uma função da amostra, $g(X_1, \ldots, X_n)$, com o objetivo de estimar a média da população (suponha que o valor 1.68 utilizado para gerar a mostra seja realmente um parâmetro desconhecido),

g <- function(x){ 
  print(sum(x)/length(x)) 
}

A função $g$ calcula a media amostral, isto é, para a amostra $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$, o estatístico $g$ retorna \[g(x_1, \ldots, x_{10}) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i.\] Em particular, lembramos que este é o valor numérico do estimador $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ na amostra \[(X_1, X_2, \ldots, X_n)(\omega) = (x_1, x_2, \ldots, x_n).\] No R, o resultado ao aplicarmos o estimador na amostra gerada é

g(alturas)

Podemos gerar mais amostras e observar os valores do estimador em cada uma, por exemplo

for (i in 1:5) g(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 1.706853
 [1] 1.662526
 [1] 1.690708
 [1] 1.688903
 [1] 1.752636

gera 5 amostras e calcula a media amostral de cada uma. Em sala de aula denotamos $g(X_1, \ldots, X_n)$ por $\bar X$, o estimador média amostral. O importante aqui é observarmos como a depender da amostra podem resultar valores diferentes para o estimador $\bar X$: estes valoressão todos estimativas de $\bar X$. Cada chamada a rnorm muda a semente utilizada pelo gerador de números aleatórios utilizados por esta função gerando portanto amostras possívelmente diferentes. Em lugar de g(), definida acima, R possue a função mean.

estimadores: variância amostral

Dada uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_n$ de uma população $X$, seja $S^2$ a variável aleatória definida por \[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i -\bar X)^2. \] $S^2$, conhecido como a variância amostral, é utilizado como um estimador da variância da população $\sigma^2 =$Var$(X)$. $S^2$ pode ser implementado pela função,

S2 <- function(x){ 
  n <- length(x)
  xbarra <- sum(x)/n
  print(sum((x-xbarra)^2/(n-1)))
}

for (i in 1:5) S2(rnorm(n=10, mean=1.68, sd = sqrt(0.01)))
 [1] 0.005877579
 [1] 0.01414221
 [1] 0.007516044
 [1] 0.007520869
 [1] 0.01134922

No R, as funções g() e S2() são implementadas respectivamente por mean() e var(); logo não é necessário definilas, mas o meu objetivo era explicar como isto pode ser feito.

estimadores: distribuição empírica

  source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/empirical_pdf.R")
  dado(N=10)
  plotFn(dado(N=10))
  for (i in 1:6) plotFn(dado(N=10), add=T)
  plotFn(dado(N=10000), add=T, col.hor="red", lwd=3)
  # amostras de uma populacao normal padrao (mu=0, sd=1)
  plotFn(normal(N=30), xlim=c(-3,3))
  for (i in 1:3) plotFn(normal(N=30), add=T)
  plotFn(normal(N=15000), add=T, col.hor="blue", lwd=3)
		  

A primeira linha carrega as funções definidas em empirical_pdf.R. A segunda linha gera uma amostra $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_{10}$, a qual representa o lançamento de um dado honesto 10 vezes. Isto é implementado com a função dado, a qual por sua vez utiliza a função do R sample. A terceira linha calcula e grafica a estimativa para $\widehat F_{n}(x)$ baseada na amostra gerada com dado. A quarta linha calcula e grafica mais outras seis estimativas, cada uma obtida com uma amostra diferente (subsequentes chamadas a sample geram amostras "aleatórias" diferentes; tente você mesmo). A quinta linha calcula e grafica a estimativa obtida com uma amostra de tamanho n=10000, ou seja uma sequência de números obtida ao lançarmos 10000 um dado!. A estimativa desta ultima deve estar bem próxima da função de distribuição de um dado honesto. As ultimas linhas repetem esta experiencia para amostras de uma população normal padrão, isto é, com média 0 e variância 1. Ambos os resultados são mostrados na figura abaixo.

11/08/24

Lei Fraca dos Grandes Números

O script utilizado em sala de aula para simular o lançamento de moedas com probabilidade $p \in [0,1]$ de sair cara e graficar a frequência relativa de caras em $N$ lancamentos pode ser carregado ao digitar

source("https://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/moedaWLLN.R")

Este script define a função moedaWLLN(), a qual possui argumentos p, N, m, coins; os quais respectivamente representam a probabilidade $p$, o número de lançamentos, o número de moedas a serem lançadas (cada uma $N$ vezes), e uma variável boleana (com valores TRUE, FALSE) a qual mostra os lançamentps que resultaram em cara e aqueles que resultaram em coroa. Por exemplo

moedaWLLN(p=1/2, N=300, m=1, coins=TRUE)

simula o lançamento de uma moeda honesta 300 vezes e grafica a evolução da frequência relativa de caras $S_n/n$, $S_n = \sum_{i=1}^n \xi_i$, como explicado em aula. Sugiro vocês tentarem varios valores para m, por exemplo m=10 e N=250, N=5000 para ganharem intuição ao que respecta o conceito da convergência em probabilidade inerente na Lei Fraca dos Grandes Números.

24/08/24

máxima verosimilhança

  amostra <- rgeom(15, 1/10)
  p.maxver <- length(amostra)/(sum(amostra)+length(amostra))
  LogVerGeom <- function(x=amostra, p=1/2) { 
     length(x)*log(p) + sum(x)*log(1-p)
  }
  p <- seq(0,0.2,0.001)
  plot(p, LogVerGeom(amostra, p))
  abline(v=p.maxver, lty=2)

O código acima fornece um exemplo do método máxima verossimilhança para uma população $X$ com distribuiça;ão Geometrica($p$), $p$=1/10. Suponha que $X$ representa o tempo de espera em um ponto de onibus qualquer em Ribeirão Preto; $p$ representa a probabilidade de pegarmos o onibus em um minuto. Se $p$=1/10, em méia devemos esperar 10 minutos. A primeira linha do código acima gera uma amostra de tamanho 15 da população. R ao contrario do feito em aula parameterisa o modelo Geometrico da seguinte forma \[P(X = k) = (1-p)^k p, \qquad k = 0, 1, \ldots\] Neste caso o estimador de máxima verossimilhança é $\hat{p}_{MV} = n/\sum_i (X_i-1)$, sendo $X_i$, $1 \leq i \leq n$ a amostra de $X$. A primiera linha do código gera uma amostra com $n=15$. A segunda linha calcula a estimativa do estimador $\hat{p}_{MV}$. A terceira linha define a função LogVerGeom, a qual calcula o logaritmo da função de verosimilhançã na amostra, dado um valor para $p$. A quarta linha define um vetor com possíveis valores para $p$. A quinta linha grafica o logaritmo da verosimilhança em funçao de $p$. Por ultimo adicionamos a posição da estimativa para $p$. Esta ultima deveria estar no lugar de máxima verossimilhança. Sugiro voce executar o script acima tal qual e logo substituindo a primeira e a quarta linha por

  amostra <- rgeom(1500, 0.95)
  p <- seq(0.8,1,0.001)
  p.maxver <- length(amostra)/(sum(amostra)+length(amostra))
  plot(p, LogVerGeom(amostra, p), xlab="p", ylab="log L(x, p)")
  abline(v=p.maxver, lty=2)

O valor $p$=0.95 poderia ser utilizado para modelar a probabilidade de pegarmos o onibus no primiero minuto na Alemanha, por exemplo. Os graficos gerados pelos comandos acima é apresentado abaixo.

O script NormalLik.R simula uma amostra de tamanho 40 de uma população normal com média 1.68 e variância 0.1 (com o intuito de simular uma amostra das alturas de vocés) e posteriormente calcula e grafica a superficie de verossimilhanca para um determinado dominio dos valores para a média e a variância. O grafico abaixo apresenta o resultado. Tente executar o script várias e observe a variação da superficie determinada pela amostragem! Observe que para poder gerar o grafico, é necessário instalar a livraria plot3D, digitanto, por exemplo, desde a linha de comando do R install.packages("plot3D").

O script também imprime o valor das estimativas para os estimadores de máxima verossimilhança baseados na amostra; veja os numeros impresos na linha de comando que aparecem depois de digitar

source("http://dcm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/NormalLik.R")